Чтобы найти площадь трапеции, нам нужно использовать формулу для площади трапеции:

Площадь трапеции S = (a + b) / 2 * h,

где a и b - длины оснований, h - высота трапеции.

В нашем случае основания равны:

• a = 8 см
• b = 18 см

Теперь нам нужно найти высоту h. Для этого мы воспользуемся углами при большем основании. У нас есть углы 30 и 60 градусов.

Рассмотрим трапецию ABCD, где AB - большее основание (18 см), CD - меньшее основание (8 см). Угол при A равен 30 градусов, а угол при B равен 60 градусов.

Мы можем опустить перпендикуляры из точек C и D на прямую AB. Обозначим эти точки как H и G соответственно. Таким образом, у нас получится два прямоугольных треугольника: AHD и BGC.

Теперь найдем высоту h:

1. Для треугольника AHD:
• h = AD * sin(30°)
• AD - это длина отрезка AH.
2. Для треугольника BGC:
• h = BG * sin(60°)
• BG - это длина отрезка BG.

Теперь мы можем выразить длины отрезков AH и BG через высоту h:

• AH = h / sin(30°) = 2h, так как sin(30°) = 1/2.
• BG = h / sin(60°) = h / (√3/2) = 2h/√3.

Теперь мы можем выразить разницу оснований через AH и BG:

AB - CD = AH + BG = 18 - 8 = 10 см.

Подставим найденные значения:

2h + 2h/√3 = 10 см.

Теперь найдем h:

h(2 + 2/√3) = 10.

h = 10 / (2 + 2/√3).

Умножим числитель и знаменатель на √3:

h = 10√3 / (2√3 + 2) = 5√3 / (√3 + 1).

Теперь, когда у нас есть высота h, мы можем подставить её в формулу для площади:

S = (8 + 18) / 2 * h = 26 / 2 * (5√3 / (√3 + 1)) = 13 * (5√3 / (√3 + 1)).

Теперь можно вычислить площадь S. Для этого нужно просто подставить значение h и произвести вычисления.

Таким образом, площадь трапеции равна:

S = 65√3 / (√3 + 1) см².