Для решения задачи начнем с определения необходимых формул и обозначений.

Обозначим:

• h - высота усеченного конуса;
• H - высота полного конуса, которая равна 10;
• Sб - площадь боковой поверхности полного конуса, равная 48π;
• Sб' - площадь боковой поверхности усеченного конуса, равная 36π;
• r1 - радиус основания полного конуса;
• r2 - радиус верхнего основания усеченного конуса;
• l - образующая полного конуса, которая также равна образующей усеченного конуса из-за одинакового угла наклона.

Сначала найдем образующую полного конуса. Площадь боковой поверхности полного конуса вычисляется по формуле:

Sб = π * r1 * l

Подставим известные значения:

48π = π * r1 * l

Сократив π, получаем:

48 = r1 * l

Таким образом, мы можем выразить r1 через l:

r1 = 48/l

Теперь перейдем к усеченному конусу. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

Sб' = π * (r1 + r2) * l

Подставим известные значения:

36π = π * (r1 + r2) * l

Сократив π, получаем:

36 = (r1 + r2) * l

Таким образом, мы можем выразить r1 + r2 через l:

r1 + r2 = 36/l

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. r1 = 48/l
2. r1 + r2 = 36/l

Подставим первое уравнение во второе:

48/l + r2 = 36/l

r2 = 36/l - 48/l = -12/l

Это значение не может быть отрицательным, поэтому мы должны пересмотреть подход к нахождению высоты усеченного конуса. Для этого нам нужно использовать соотношение между высотами и радиусами.

Для полного конуса:

h1 = H - h = 10 - h

Площадь боковой поверхности усеченного конуса также можно выразить через высоту:

Sб' = π * (r1 + r2) * h

Теперь подставим r1 и r2:

r2 = r1 - (H - h) * (r1 - r2) / H

Находим высоту усеченного конуса, подставив значения и решив уравнение:

h = 10 - (36 * h) / (48) = 10 - (3/4) * h

Теперь решим это уравнение:

h + (3/4) * h = 10

(7/4) * h = 10

h = (10 * 4) / 7 = 40/7

Таким образом, высота усеченного конуса составляет:

h = 40/7 ≈ 5.71.

Ответ: высота усеченного конуса равна 40/7 или примерно 5.71.