В цилиндре, где высота равна 6 см, площадь боковой поверхности в два раза меньше площади полной поверхности. Как можно вычислить объем этого цилиндра?

Геометрия 11 класс Объем цилиндра цylinder geometry volume lateral surface area total surface area height calculation math problem 11th grade Новый

Для решения задачи начнем с формул, которые нам понадобятся:

• Площадь боковой поверхности цилиндра: Sб = 2πrh, где r - радиус основания, h - высота.
• Площадь полной поверхности цилиндра: Sп = 2πr(h + r).
• Объем цилиндра: V = πr²h.

Дано, что высота цилиндра h = 6 см. Также известно, что площадь боковой поверхности в два раза меньше площади полной поверхности:

Sб = 0.5 * Sп.

Подставим формулы для площадей в данное уравнение:

1. Запишем площадь боковой поверхности:

Sб = 2πr * 6 = 12πr.

2. Запишем площадь полной поверхности:

Sп = 2πr(6 + r) = 12πr + 2πr².

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

12πr = 0.5 * (12πr + 2πr²).

Упростим уравнение:

1. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

24πr = 12πr + 2πr².

2. Переносим все в одну сторону:

0 = 2πr² - 12πr + 24πr.

3. Соберем подобные слагаемые:

0 = 2πr² - 12πr.

4. Вынесем общий множитель:

0 = 2πr(r - 6).

Теперь у нас есть два возможных решения:

• 2πr = 0, что дает r = 0 (не подходит, так как радиус не может быть нулевым);
• r - 6 = 0, что дает r = 6 см.

Теперь, зная радиус r = 6 см и высоту h = 6 см, можем найти объем цилиндра:

V = πr²h = π(6)²(6) = π * 36 * 6 = 216π см³.

Таким образом, объем данного цилиндра равен:

216π см³.