Похожие вопросы
2025-03-25 16:19:17
В цилиндре отрезок AB является диаметром нижнего основания и равен 10. Точка C расположена на окружности верхнего основания цилиндра и одновременно принадлежит осевому сечению цилиндра, которое перпендикулярно отрезку AB. Какой косинус угла образуется между плоскостью ABC и плоскостью основания цилиндра, если длина отрезка BC составляет 13?
Геометрия 11 класс Цилиндры и их сечения
2025-07-22 10:37:21
Чтобы найти косинус угла между плоскостью ABC и плоскостью основания цилиндра, давайте разберем задачу шаг за шагом.
- Понять геометрию цилиндра:
- Отрезок AB является диаметром нижнего основания цилиндра и равен 10. Значит, радиус основания равен 5 (так как радиус равен половине диаметра).
- Точка C лежит на окружности верхнего основания и принадлежит осевому сечению, перпендикулярному AB, что означает, что точка C находится на высоте цилиндра.
- Определить положение точки C:
- Поскольку точка C находится на осевом сечении, она лежит на вертикальной линии, проходящей через середину отрезка AB. Давайте обозначим середину отрезка AB как точку O (центр основания).
- Так как BC = 13 и точка C на верхнем основании, то высота цилиндра h равна расстоянию от точки B до точки C, если точка B находится на окружности нижнего основания, и точка C - на окружности верхнего основания.
- Найти высоту цилиндра:
- Точка B имеет координаты (5, 0, 0), если считать центр O как (0, 0, 0).
- Точка C имеет координаты (0, 0, h), где h - высота цилиндра.
- Расстояние BC = 13, и так как точки B и C находятся на осевом сечении, то BC можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 (радиус основания) и h.
- По теореме Пифагора: 5^2 + h^2 = 13^2, откуда 25 + h^2 = 169, следовательно, h^2 = 144, и h = 12.
- Найти косинус угла между плоскостью ABC и основанием цилиндра:
- Плоскость основания цилиндра горизонтальна, а плоскость ABC проходит через точки A, B и C.
- Вектор нормали к основанию цилиндра: (0, 0, 1).
- Вектор нормали к плоскости ABC можно определить, взяв векторное произведение векторов AB и BC:
- AB = (10, 0, 0) и BC = (-5, 0, 12).
- Векторное произведение: AB x BC = |i j k| = (0, -120, 0).
- Для нахождения косинуса угла между плоскостями используем скалярное произведение нормалей: cos(θ) = (n1 • n2) / (|n1| * |n2|).
- n1 = (0, 0, 1), n2 = (0, -120, 0), |n1| = 1, |n2| = 120.
- Скалярное произведение: (0, 0, 1) • (0, -120, 0) = 0.
- Таким образом, cos(θ) = 0 / (1 * 120) = 0.
Следовательно, косинус угла между плоскостью ABC и плоскостью основания цилиндра равен 0, что указывает на то, что эти плоскости перпендикулярны друг другу.