В декартовой системе координат в пространстве даны векторы a(0,5,-3) и b(-1,0,2).

Какой вектор c необходимо найти, чтобы выполнялось равенство a+b+c=0? Укажите сумму координат вектора c в ответе.

Также определите косинус угла между векторами c и (1/2)(c + a). В ответе укажите квадрат значения косинуса угла, округлённый до сотых.

Геометрия 11 класс Векторы в пространстве векторы декартова система координат равенство векторов сумма координат косинус угла геометрия 11 класс вектор c вектор a вектор b угол между векторами Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Для начала, нам нужно найти вектор c, который удовлетворяет уравнению:

a + b + c = 0

Мы можем выразить вектор c через векторы a и b:

c = - (a + b)

Теперь подставим значения векторов a и b:

• a = (0, 5, -3)
• b = (-1, 0, 2)

Сначала найдем сумму векторов a и b:

• Суммируем координаты:
• x: 0 + (-1) = -1
• y: 5 + 0 = 5
• z: -3 + 2 = -1

Таким образом, a + b = (-1, 5, -1).

Теперь найдем вектор c:

• c = -(-1, 5, -1) = (1, -5, 1)

Теперь найдем сумму координат вектора c:

• 1 + (-5) + 1 = -3

Таким образом, сумма координат вектора c равна -3.

Теперь нам нужно найти косинус угла между векторами c и (1/2)(c + a).

Сначала найдем вектор (1/2)(c + a):

• c + a = (1, -5, 1) + (0, 5, -3) = (1, 0, -2)
• (1/2)(c + a) = (1/2)(1, 0, -2) = (1/2, 0, -1)

Теперь найдем косинус угла между векторами c и (1/2)(c + a). Для этого используем формулу:

cos(θ) = (c · d) / (|c| * |d|),

где d = (1/2, 0, -1).

Сначала найдем скалярное произведение c и d:

• c · d = (1, -5, 1) · (1/2, 0, -1) = 1 * (1/2) + (-5) * 0 + 1 * (-1) = 1/2 - 1 = -1/2.

Теперь найдем длины векторов c и d:

• |c| = √(1^2 + (-5)^2 + 1^2) = √(1 + 25 + 1) = √27 = 3√3.
• |d| = √((1/2)^2 + 0^2 + (-1)^2) = √(1/4 + 0 + 1) = √(1 + 1/4) = √(5/4) = √5 / 2.

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса:

cos(θ) = (-1/2) / (3√3 * (√5 / 2)) = -1 / (3√15).

Теперь найдем квадрат косинуса:

cos²(θ) = (-1 / (3√15))² = 1 / (9 * 15) = 1 / 135.

Теперь округлим значение до сотых:

1 / 135 ≈ 0.0074.

Таким образом, ответ на задачу:

• Сумма координат вектора c: -3
• Квадрат косинуса угла: 0.01 (округлено до сотых)