В нижней основе цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом 90°, а из центра верхнего основания — под углом 60°. Как можно вычислить объем цилиндра, если радиус его основания равен R? Пожалуйста, добавьте рисунок.

Геометрия 11 класс Объем цилиндра объём цилиндра радиус основания угол 90 градусов угол 60 градусов хорда геометрия 11 класс вычисление объёма цилиндр задачи по геометрии Новый

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом. У нас есть цилиндр, и нам даны углы, под которыми хорда видна из центров оснований цилиндра. Мы будем использовать эти углы для нахождения высоты цилиндра, а затем сможем вычислить его объем.

Шаг 1: Понимание задачи

• Радиус основания цилиндра равен R.
• Хорда на нижнем основании видна из центра под углом 90°. Это означает, что хорда равна диаметру основания, то есть 2R.
• Хорда на верхнем основании видна из центра под углом 60°.

Шаг 2: Вычисление высоты цилиндра

Для верхнего основания, чтобы найти длину хорды, которая видна под углом 60°, мы можем использовать формулу для длины хорды:

Длина хорды = 2 * R * sin(угол/2)

В нашем случае угол равен 60°, следовательно:

1. Длина хорды = 2 * R * sin(60° / 2) = 2 * R * sin(30°) = 2 * R * 0.5 = R.

Теперь у нас есть длина хорды на верхнем основании, которая равна R.

Шаг 3: Определение высоты цилиндра

Мы можем использовать треугольник, образованный радиусами и высотой цилиндра. У нас есть:

• Одна сторона (радиус) равна R.
• Вторая сторона (высота цилиндра) обозначим как h.
• Третья сторона (длина хорды на верхнем основании) равна R.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты:

1. R^2 = (h)^2 + (R/2)^2
2. R^2 = h^2 + R^2/4
3. h^2 = R^2 - R^2/4
4. h^2 = (4R^2 - R^2) / 4 = 3R^2 / 4
5. h = √(3R^2 / 4) = R√3 / 2.

Шаг 4: Вычисление объема цилиндра

Объем цилиндра можно вычислить по формуле:

V = S * h, где S - площадь основания, а h - высота.

Площадь основания S = πR^2.

Теперь подставим все значения:

1. V = πR^2 * (R√3 / 2) = (πR^3√3) / 2.

Ответ: Объем цилиндра равен (πR^3√3) / 2.