В правильном тетраэдре DABC, M, N и K являются серединами ребер AB, BC и CD соответственно. Если длина вектора DM равна sqrt3, то какова длина вектора MN?

Геометрия 11 класс Векторы в пространстве правильный тетраэдр середины ребер длина вектора геометрия 11 класс вектор MN вектор DM задачи по геометрии Новый

Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть правильный тетраэдр DABC. В правильном тетраэдре все ребра равны, и все грани являются равносторонними треугольниками.

Обозначим длину ребра тетраэдра как a. Поскольку M, N и K являются серединами ребер AB, BC и CD соответственно, мы можем выразить координаты этих точек в зависимости от a.

Рассмотрим координаты вершин тетраэдра:

• D(0, 0, 0)
• A(a, 0, 0)
• B(0.5a, (sqrt(3)/2)a, 0)
• C(0.5a, (sqrt(3)/6)a, (sqrt(6)/3)a)

Теперь найдем координаты точек M, N и K:

• M - середина AB: M = ((a + 0.5a)/2, (0 + (sqrt(3)/2)a)/2, 0) = (0.75a, (sqrt(3)/4)a, 0)
• N - середина BC: N = ((0.5a + 0.5a)/2, ((sqrt(3)/2)a + (sqrt(3)/6)a)/2, (0 + (sqrt(6)/3)a)/2) = (0.5a, (sqrt(3)/3)a, (sqrt(6)/6)a)
• K - середина CD: K = ((0 + 0.5a)/2, (0 + (sqrt(3)/6)a)/2, (0 + (sqrt(6)/3)a)/2) = (0.25a, (sqrt(3)/12)a, (sqrt(6)/6)a)

Теперь мы можем найти вектор MN:

• MN = N - M = (0.5a - 0.75a, (sqrt(3)/3)a - (sqrt(3)/4)a, (sqrt(6)/6)a - 0) = (-0.25a, (4sqrt(3)/12 - 3sqrt(3)/12)a, (sqrt(6)/6)a)
• MN = (-0.25a, (sqrt(3)/12)a, (sqrt(6)/6)a)

Теперь найдем длину вектора MN:

Длина вектора MN = sqrt((-0.25a)^2 + ((sqrt(3)/12)a)^2 + ((sqrt(6)/6)a)^2)

Подставляем значения:

• Длина MN = sqrt((0.0625a^2) + (0.006944a^2) + (0.1667a^2)) = sqrt(0.2364a^2) = 0.486a

Теперь, так как длина вектора DM равна sqrt(3), мы можем выразить a через DM:

DM = sqrt((0 - 0.75a)^2 + (0 - (sqrt(3)/4)a)^2 + (0 - 0)^2) = sqrt((0.75a)^2 + ((sqrt(3)/4)a)^2)

Это упростится до sqrt(0.5625a^2 + 0.5625a^2) = sqrt(1.125a^2) = sqrt(3)

Теперь мы можем найти a:

1.125a^2 = 3 => a^2 = 3 / 1.125 => a^2 = 2.6667 => a = sqrt(2.6667) ≈ 1.632

Теперь подставим значение a в длину MN:

Длина MN = 0.486 * 1.632 ≈ 0.793

Таким образом, длина вектора MN равна sqrt(3) / 3.