В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 3. Боковые грани образуют угол 45 градусов с основанием. Какой объем имеет эта пирамида?

Геометрия 11 класс Объем правильной четырехугольной пирамиды правильная четырехугольная пирамида расстояние от центра основания боковые грани угол 45 градусов объём пирамиды Новый

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определим высоту пирамиды.

Из условия задачи известно, что расстояние от центра основания до боковой грани равно 3. Это расстояние является перпендикуляром, проведенным из центра основания к боковой грани. Также известно, что угол между боковой гранью и основанием равен 45 градусам.

Так как угол между боковой гранью и основанием равен 45 градусам, мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти высоту пирамиды (h). В этом случае:

• Сторона, перпендикулярная основанию (высота h), и расстояние от центра основания до боковой грани (3) образуют прямоугольный треугольник.
• По свойствам прямоугольного треугольника: tan(45) = h / 3.
• Так как tan(45) = 1, получаем: h = 3.

Шаг 2: Найдем сторону основания.

Теперь нам нужно найти сторону основания квадрата. Мы знаем, что расстояние от центра квадрата до вершины (боковой грани) равно 3, и это расстояние является гипотенузой прямоугольного треугольника, где одна из сторон равна половине стороны основания (a/2), а другая - высота (h).

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

• (a/2)² + h² = 3².
• (a/2)² + 3² = 9.
• (a/2)² + 9 = 9.
• (a/2)² = 0.
• a/2 = 0, а значит a = 0.

Таким образом, сторона основания a равна 0, что невозможно. Давайте пересчитаем.

При условии, что угол 45 градусов, то:

• h = 3.
• tan(45) = 1, значит a/2 = 3.
• Следовательно, a = 6.

Шаг 3: Найдем объем пирамиды.

Теперь, когда мы знаем сторону основания (a = 6) и высоту (h = 3), можем найти объем V пирамиды по формуле:

• V = (1/3) * S * h,
• где S - площадь основания.

Площадь основания S квадрата равна a²:

• S = 6² = 36.

Теперь подставим значения в формулу объема:

• V = (1/3) * 36 * 3 = 36.

Ответ: Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 36.