Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нам нужно воспользоваться известной формулой для объема пирамиды:

V = (1/3) * S_основания * h

где V - объем пирамиды, S_основания - площадь основания, а h - высота пирамиды.

В данной задаче нам известен радиус описанной вокруг пирамиды сферы R и угол между боковым ребром и плоскостью основания, равный 60 градусов. Сначала найдем высоту пирамиды h с помощью радиуса R.

Для правильной треугольной пирамиды, радиус описанной сферы R связан с высотой h и радиусом основания r следующим образом:

R = (h/3) + r

Теперь, чтобы выразить h, нам нужно найти r. Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной a можно найти по формуле:

r = a / (sqrt(3))

Теперь давайте рассмотрим боковое ребро. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60 градусов. Это означает, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты h:

h = R * cos(60°)

Так как cos(60°) = 0.5, мы можем записать:

h = R * 0.5 = R/2

Теперь подставим это значение h в формулу для R:

R = (R/2)/3 + r

Упрощая, получаем:

R = R/6 + r

Отсюда можно выразить r:

r = R - R/6 = (5R)/6

Теперь, зная r, можем найти сторону a основания:

r = a / (sqrt(3))

Подставим значение r:

(5R)/6 = a / (sqrt(3))

Отсюда находим a:

a = (5R * sqrt(3))/6

Теперь найдем площадь основания S_основания правильного треугольника:

S_основания = (sqrt(3)/4) * a^2

Подставим a:

S_основания = (sqrt(3)/4) * ((5R * sqrt(3))/6)^2

Упрощая, получаем:

S_основания = (sqrt(3)/4) * (25R^2 * 3)/36 = (75R^2 * sqrt(3))/144

Теперь подставим S_основания и h в формулу для объема V:

V = (1/3) * S_основания * h

Подставляем:

V = (1/3) * ((75R^2 * sqrt(3))/144) * (R/2)

Упрощаем:

V = (75R^3 * sqrt(3))/(864)

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды, где боковое ребро образует угол 60 градусов с плоскостью основания и радиус описанной сферы равен R, равен:

V = (75R^3 * sqrt(3))/864