Для решения этой задачи начнем с анализа данных, которые нам даны:

• Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 35√3.
• Тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 1.5.

Обозначим:

• h - высота боковой грани от вершины пирамиды до основания;
• l - длина бокового ребра, равная 35√3;
• a - длина стороны основания.

Сначала найдем высоту боковой грани h. Мы знаем, что:

tan(угол) = h / (a/2),

где (a/2) - это половина длины стороны основания, которая является основанием треугольника, образованного высотой и половиной стороны основания.

Так как тангенс угла равен 1.5, мы можем записать уравнение:

1.5 = h / (a/2).

Отсюда, выразим h:

h = 1.5 * (a/2) = 0.75a.

Теперь у нас есть выражение для h. Мы также знаем, что в правильной треугольной пирамиде боковое ребро, высота боковой грани и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник:

l² = h² + (a/2)².

Подставим известные значения:

(35√3)² = (0.75a)² + (a/2)².

Теперь посчитаем:

• (35√3)² = 1225 * 3 = 3675;
• (0.75a)² = 0.5625a²;
• (a/2)² = 0.25a².

Теперь у нас есть уравнение:

3675 = 0.5625a² + 0.25a².

Сложим коэффициенты:

3675 = (0.5625 + 0.25)a² = 0.8125a².

Теперь выразим a²:

a² = 3675 / 0.8125.

Посчитаем это значение:

a² = 4520.

Теперь найдем a:

a = √4520.

Для удобства, можно упростить корень:

√4520 = √(4 * 1130) = 2√1130.

Таким образом, длина стороны основания пирамиды равна 2√1130.

Итак, ответ: длина стороны основания пирамиды составляет 2√1130.