Для решения данной задачи начнем с анализа информации, которую мы имеем:

• Прямоугольная трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
• Диагональ BD равна 18.
• Угол A равен 45 градусам.
• Меньшее основание трапеции BC равно 9√3.

Так как трапеция ABCD является прямоугольной, угол A равен 45 градусам, а это значит, что угол D также равен 90 градусам (так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам).

Теперь давайте обозначим:

• AD - большее основание,
• BC - меньшее основание, равное 9√3,
• h - высота трапеции, которая равна длине стороны AB.

В этом случае, по свойствам прямоугольной трапеции, мы можем использовать треугольник ABD для дальнейших расчетов. В этом треугольнике:

• Сторона AB является высотой h,
• Сторона AD - основание, которое мы ищем,
• Сторона BD - диагональ, равная 18.

Так как угол A равен 45 градусам, то по свойствам треугольника мы имеем:

• h = AB = AD - BC = AD - 9√3.

Теперь применим теорему Пифагора для треугольника ABD:

1. BD² = AB² + AD².
2. 18² = h² + (AD)².
3. 324 = h² + (AD)².

Теперь подставим h = AD - 9√3:

1. 324 = (AD - 9√3)² + (AD)².
2. 324 = (AD² - 2 * AD * 9√3 + (9√3)²) + (AD)².
3. 324 = 2AD² - 18√3 * AD + 243.
4. 2AD² - 18√3 * AD + 243 - 324 = 0.
5. 2AD² - 18√3 * AD - 81 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-18√3)² - 4 * 2 * (-81).
• D = 972 + 648 = 1620.

Теперь найдем корни уравнения:

1. AD = (18√3 ± √1620) / 4.
2. √1620 = 30√6, поэтому AD = (18√3 ± 30√6) / 4.

Теперь мы можем найти значение AD. Поскольку мы ищем большее основание, выберем положительный корень:

AD = (18√3 + 30√6) / 4.

Таким образом, длина большей боковой стороны AD равна (18√3 + 30√6) / 4. Это и есть ответ на задачу.