В равнобедренной трапеции ABCD на боковой стороне CD выбрана точка E, так что отношение CE к ED составляет 1 к 2. Высота трапеции CH делит основание AD в отношении 3 к 1. Какова площадь трапеции, если площадь треугольника ACE равна 8?

Не забудьте приложить рисунок и предоставить подробное разъяснение!

Геометрия 11 класс Площадь трапеции равнобедренная трапеция площадь трапеции отношение отрезков высота трапеции треугольник ACE геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Для начала давайте разберемся с условиями задачи и обозначениями.

У нас есть равнобедренная трапеция ABCD, где AB || CD, и боковые стороны AD и BC равны. Мы знаем, что точка E на стороне CD делит эту сторону в отношении 1 к 2, то есть:

• CE = x
• ED = 2x

Таким образом, длина всей стороны CD равна:

CD = CE + ED = x + 2x = 3x.

Теперь перейдем к высоте CH, которая делит основание AD в отношении 3 к 1. Обозначим длину AD как y. Тогда:

• AH = (3/4)y
• HD = (1/4)y

Теперь у нас есть треугольник ACE, площадь которого равна 8. Площадь треугольника можно выразить через его основание и высоту:

Площадь треугольника ACE = (1/2) * основание * высота.

В нашем случае основание - это CE, а высота - это CH. Подставим известные значения:

8 = (1/2) * x * h, где h - высота трапеции.

Теперь выразим h через CE:

h = (16/x).

Теперь найдем площадь трапеции ABCD. Площадь трапеции можно найти по формуле:

Площадь трапеции = (1/2) * (AB + CD) * h.

Поскольку AB и CD параллельны, и мы знаем, что CD = 3x, нам нужно узнать длину AB. Но для этого нам нужно знать, как AB соотносится с CE и ED.

Мы знаем, что CH делит AD в отношении 3 к 1, следовательно, AD = y, где AH = (3/4)y и HD = (1/4)y. Поскольку трапеция равнобедренная, то AB также будет равно длине AD.

Теперь можем выразить площадь трапеции через известные параметры:

Площадь ABCD = (1/2) * (AB + CD) * h = (1/2) * (y + 3x) * (16/x).

Теперь давайте подставим значения. Мы знаем, что CE = x и ED = 2x, и мы можем выразить y через x. Поскольку CE = x и ED = 2x, мы можем установить, что y = 3x.

Теперь подставим y в формулу площади:

Площадь ABCD = (1/2) * (3x + 3x) * (16/x) = (1/2) * (6x) * (16/x) = (1/2) * 96 = 48.

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 48.