Давайте рассмотрим треугольник ABC с длинами сторон a, b и c. Мы хотим доказать, что любая сторона этого треугольника меньше половины его периметра. Для начала, определим, что такое периметр треугольника.

Периметр треугольника обозначается буквой P и рассчитывается по формуле:

P = a + b + c

Теперь, чтобы доказать, что каждая сторона меньше половины периметра, мы рассмотрим одну из сторон, например, сторону a. Нам нужно показать, что:

a < P/2

Подставим выражение для периметра:

a < (a + b + c) / 2

Теперь умножим обе стороны неравенства на 2 (это допустимо, так как 2 положительно):

2a < a + b + c

Теперь перенесем a в левую часть неравенства:

2a - a < b + c

a < b + c

Это неравенство (a < b + c) является известным неравенством треугольника, которое всегда верно для любых треугольников. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Таким образом, мы доказали, что:

• a < P/2

Теперь давайте повторим те же шаги для остальных сторон треугольника:

• Для стороны b: b < (a + b + c) / 2, что приводит к b < a + c, что также верно по неравенству треугольника.
• Для стороны c: c < (a + b + c) / 2, что приводит к c < a + b, что также верно по неравенству треугольника.

Таким образом, мы показали, что каждая сторона треугольника меньше половины его периметра:

• a < P/2
• b < P/2
• c < P/2

Это завершает наше доказательство.