Какова величина (в градусах) угла α, вписанного в окружность и опирающегося на хорду AB, если длина этой хорды равна радиусу окружности?

Геометрия 7 класс Вписанные углы и их свойства угол α вписанный угол хорда AB радиус окружности геометрия 7 класс Новый

Чтобы найти величину угла α, вписанного в окружность и опирающегося на хорду AB, необходимо использовать свойства вписанных углов и хорд.

Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Определение данных: У нас есть хорда AB, длина которой равна радиусу окружности. Обозначим радиус окружности как R. Таким образом, длина хорды AB равна R.
2. Использование теоремы о вписанном угле: Вписанный угол α, опирающийся на хорду AB, равен половине угла, который опирается на ту же хорду в центре окружности. Этот угол в центре обозначим как β.
3. Нахождение угла в центре: Чтобы найти угол β, мы можем использовать свойства треугольника, образованного радиусами OA и OB и хордой AB. В этом треугольнике OA = OB = R, а AB = R. Таким образом, у нас есть равнобедренный треугольник OAB.
4. Применение косинусной теоремы: В равнобедренном треугольнике OAB, чтобы найти угол β, мы можем воспользоваться косинусной теоремой:
   • cos(β) = (OA^2 + OB^2 - AB^2) / (2 * OA * OB)
   • Подставим значения: cos(β) = (R² + R² - R²) / (2 * R * R) = R² / (2R²) = 1/2.
5. Нахождение угла β: Угол β равен 60 градусам, так как cos(60°) = 1/2.
6. Находим угол α: Теперь, используя свойство вписанного угла, мы можем найти угол α:
   • α = 1/2 * β = 1/2 * 60° = 30°.

Ответ: Величина угла α, вписанного в окружность и опирающегося на хорду AB, равна 30 градусам.