Вопрос: Найдите площадь ромба, если сумма его диагоналей равна 14 см, а периметр - 20 см.

Геометрия 7 класс Площадь ромба площадь ромба сумма диагоналей периметр ромба геометрия 7 класс задачи по геометрии формулы для площади свойства ромба решение задач математические задачи учебный материал по геометрии Новый

Чтобы найти площадь ромба, давайте сначала разберемся с данными, которые у нас есть.

• Сумма диагоналей ромба равна 14 см.
• Периметр ромба равен 20 см.

Поскольку ромб — это особый вид параллелограмма, его диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных треугольника. Площадь ромба можно найти, используя формулу:

Площадь ромба = (d1 * d2) / 2,

где d1 и d2 — длины диагоналей. Но у нас нет длин диагоналей, только их сумму.

Давайте обозначим длины диагоналей как d1 и d2. Из условия мы знаем, что:

d1 + d2 = 14 см.

Теперь давайте найдем длину стороны ромба. Мы знаем, что периметр ромба равен 20 см, и так как ромб имеет 4 равные стороны, длина одной стороны будет:

Сторона ромба = Периметр / 4 = 20 см / 4 = 5 см.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длин диагоналей. В каждом из четырех треугольников, образованных диагоналями, стороны равны половинам диагоналей и стороне ромба:

(d1/2)² + (d2/2)² = 5².

Упростим это уравнение:

(d1² / 4) + (d2² / 4) = 25.

Умножим обе стороны на 4:

d1² + d2² = 100.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. d1 + d2 = 14
2. d1² + d2² = 100

Решим первое уравнение относительно d1:

d1 = 14 - d2.

Подставим это значение во второе уравнение:

(14 - d2)² + d2² = 100.

Раскроем скобки:

196 - 28d2 + d2² + d2² = 100.

Соберем подобные члены:

2d2² - 28d2 + 196 - 100 = 0.

Упростим уравнение:

2d2² - 28d2 + 96 = 0.

Разделим все на 2:

d2² - 14d2 + 48 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-14)² - 4 * 1 * 48 = 196 - 192 = 4.

Теперь находим корни:

d2 = (14 ± √4) / 2 = (14 ± 2) / 2.

Это дает нам два значения:

d2 = 8 см или d2 = 6 см.

Теперь, подставляем d2 обратно в первое уравнение, чтобы найти d1:

• Если d2 = 8 см, то d1 = 14 - 8 = 6 см.
• Если d2 = 6 см, то d1 = 14 - 6 = 8 см.

Таким образом, мы нашли длины диагоналей: d1 = 6 см и d2 = 8 см.

Теперь можем найти площадь ромба:

Площадь = (d1 * d2) / 2 = (6 * 8) / 2 = 48 / 2 = 24 см².

Ответ: Площадь ромба равна 24 см².