1. Доказательство равенства отрезков МР и MQ.

Для начала вспомним, что если из точки, находящейся вне окружности, проведены касательные к окружности, то отрезки, соединяющие эту точку с точками касания, будут равны. Рассмотрим точку М и окружность с центром в точке O и радиусом R.

• Пусть Р и Q - точки касания касательных, проведённых из точки М.
• По определению касательной, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. То есть, угол MOP равен 90 градусам и угол MOQ также равен 90 градусам.
• Треугольники МОР и МОQ являются прямоугольными и имеют общий катет MO.
• Согласно теореме о равенстве касательных, МР равно MQ, так как длина касательных из одной точки к окружности равна.

Таким образом, мы доказали, что МР = MQ.

2. Нахождение длины АР.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством касательной и секущей:

• Согласно этому свойству, квадрат длины касательной (AB) равен произведению длины секущей (AK) на отрезок, который находится между точкой касания и точкой пересечения секущей с окружностью (АР).
• Формула выглядит так: AB^2 = AK * AP.

Теперь подставим известные значения:

• AB = 8, следовательно, AB^2 = 8^2 = 64.
• AK = 4, подставим это значение в формулу: 64 = 4 * AP.
• Теперь решим уравнение: AP = 64 / 4 = 16.

Таким образом, длина отрезка АР равна 16.

3. Нахождение длин АМ и МК.

В этой задаче также воспользуемся свойством секущей и касательной:

• Сначала найдем длину отрезка АМ. Мы знаем, что АВ + BC = AC.
• Так как АВ = 4 и BC = 6, то AC = 4 + 6 = 10.
• Теперь, по свойству касательной, имеем: АМ * AK = AB^2.
• Подставим известные значения: АМ * 12 = 4^2 = 16.
• Таким образом, АМ = 16 / 12 = 4/3.

Теперь найдем длину отрезка МК:

• Согласно свойству секущей, МК = AK - АМ.
• Подставим значения: МК = 12 - 4/3 = 36/3 - 4/3 = 32/3.

Таким образом, длины отрезков АМ и МК равны 4/3 и 32/3 соответственно.