Дан прямоугольник ABCD, где отношение сторон AB к AD составляет 1 к 3. АН - это высота треугольника BAD, а площадь треугольника АВН равна 1. Как можно найти площадь прямоугольника ABCD?
Геометрия8 классПлощадь фигургеометрия8 класспрямоугольник ABCDотношение сторонвысота треугольникаплощадь треугольникаплощадь прямоугольниказадачи по геометриирешение задачсвойства прямоугольникатреугольник BADплощадь фигуры
Рассмотрим прямоугольник ABCD, где отношение сторон AB к AD составляет 1 к 3. Обозначим сторону AB как x, тогда сторона AD будет равна 3x.
Теперь найдем длину диагонали BD, используя теорему Пифагора. В треугольнике ABD:
По теореме Пифагора получаем:
BD = √(AB² + AD²) = √(x² + (3x)²) = √(x² + 9x²) = √(10x²) = x√10.
Теперь рассмотрим треугольник BAD. Мы знаем, что высота AH проведена из вершины A к стороне BD. По условию задачи, площадь треугольника ABH равна 1.
Треугольники ABD и ABH являются подобными, так как они имеют общий угол A и угол B равен углу HBA. Коэффициент подобия k между этими треугольниками можно найти как отношение сторон BD к AB:
k = BD / AB = (x√10) / x = √10.
Площадь треугольника ABD можно выразить через площадь треугольника ABH, используя коэффициент подобия:
S(ABD) = k² * S(ABH) = (√10)² * 1 = 10.
Теперь мы можем найти площадь всего прямоугольника ABCD. Поскольку ABCD состоит из двух таких треугольников (ABD и BCD),его площадь S(ABCD) будет равна:
S(ABCD) = 2 * S(ABD) = 2 * 10 = 20.
Ответ: Площадь прямоугольника ABCD равна 20.