Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, если координаты его вершин: A (-2; -1), B (-4; 1), C (-1; 4), D (1; 2).

Геометрия 8 класс Координатная геометрия четырехугольник ABCD доказательство прямоугольник координаты вершин геометрия 8 класс свойства четырёхугольников расстояние между точками скалярное произведение угол между векторами прямые углы координатная плоскость геометрические доказательства Новый

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно показать, что хотя бы одна пара его смежных сторон перпендикулярны. Для этого мы будем использовать координаты вершин и свойства векторов.

Сначала запишем координаты вершин четырехугольника:

• A (-2; -1)
• B (-4; 1)
• C (-1; 4)
• D (1; 2)

Теперь найдем векторы, соответствующие сторонам AB, BC, CD и DA:

• Вектор AB: B - A = (-4 - (-2); 1 - (-1)) = (-4 + 2; 1 + 1) = (-2; 2)
• Вектор BC: C - B = (-1 - (-4); 4 - 1) = (-1 + 4; 4 - 1) = (3; 3)
• Вектор CD: D - C = (1 - (-1); 2 - 4) = (1 + 1; 2 - 4) = (2; -2)
• Вектор DA: A - D = (-2 - 1; -1 - 2) = (-2 - 1; -1 - 2) = (-3; -3)

Теперь мы найдем скалярные произведения векторов, чтобы проверить, перпендикулярны ли они:

• Скалярное произведение AB и BC: (-2) * 3 + 2 * 3 = -6 + 6 = 0
• Скалярное произведение BC и CD: 3 * 2 + 3 * (-2) = 6 - 6 = 0
• Скалярное произведение CD и DA: 2 * (-3) + (-2) * (-3) = -6 + 6 = 0
• Скалярное произведение DA и AB: (-3) * (-2) + (-3) * 2 = 6 - 6 = 0

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. В нашем случае скалярные произведения AB и BC, BC и CD, CD и DA, DA и AB все равны нулю, что значит, что все четыре угла четырехугольника ABCD являются прямыми.

Таким образом, поскольку все углы четырехугольника ABCD равны 90 градусам, мы можем утверждать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.