Как можно вычислить косинус меньшего угла треугольника CPM, если известны координаты его вершин: С(1;1), P(8;2), M(4;5)?

Геометрия 8 класс Координатная геометрия вычисление косинуса угла треугольника координаты вершин треугольника треугольник CPM геометрия 8 класс формулы для углов треугольника Новый

Чтобы найти косинус меньшего угла треугольника CPM, нам нужно сначала определить длины всех сторон треугольника. Для этого мы воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости, которая выглядит так:

Расстояние между точками A(x1, y1) и B(x2, y2) равно:

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Теперь найдем длины сторон треугольника CPM:

• Сторона CP:

Координаты точек C(1;1) и P(8;2):

CP = √((8 - 1)² + (2 - 1)²) = √(7² + 1²) = √(49 + 1) = √50 = 5√2.

• Сторона PM:

Координаты точек P(8;2) и M(4;5):

PM = √((4 - 8)² + (5 - 2)²) = √((-4)² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

• Сторона CM:

Координаты точек C(1;1) и M(4;5):

CM = √((4 - 1)² + (5 - 1)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Теперь у нас есть длины всех сторон:

• CP = 5√2
• PM = 5
• CM = 5

Теперь нам нужно найти косинус угла C. Для этого мы воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:

c² = a² + b² - 2ab * cos(γ),

где c — сторона, против которой расположен угол γ, а a и b — другие две стороны.

В нашем случае:

• c = CP = 5√2
• a = PM = 5
• b = CM = 5

Подставим значения в формулу:

(5√2)² = 5² + 5² - 2 * 5 * 5 * cos(C)

Теперь упростим уравнение:

50 = 25 + 25 - 50 * cos(C)

50 = 50 - 50 * cos(C)

Переносим 50 на левую сторону:

0 = -50 * cos(C)

Это уравнение показывает, что:

cos(C) = 0.

Таким образом, угол C является прямым углом (90 градусов).

Теперь, чтобы найти меньший угол треугольника CPM, мы можем рассмотреть угол P. Если угол C равен 90 градусов, то углы P и M будут острыми. Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения косинуса угла P:

PM² = CP² + CM² - 2 * CP * CM * cos(P)

5² = (5√2)² + 5² - 2 * (5√2) * 5 * cos(P)

25 = 50 + 25 - 50√2 * cos(P)

25 = 75 - 50√2 * cos(P)

50√2 * cos(P) = 75 - 25

50√2 * cos(P) = 50

cos(P) = 1/√2 = √2/2.

Таким образом, мы нашли косинус меньшего угла треугольника CPM, который равен:

cos(P) = √2/2.