Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его стороны равны по длине. Ромб - это особый случай параллелограмма, у которого все стороны равны.

Давайте начнем с вычисления длины каждой стороны четырехугольника ABCD. Длина отрезка между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) определяется по формуле:

длина = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Теперь рассчитаем длины сторон ABCD:

1. Длина стороны AB:

Координаты точек A и B: A(-3; -1) и B(1; 2)

Длина AB = √((1 - (-3))² + (2 - (-1))²) = √((1 + 3)² + (2 + 1)²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

2. Длина стороны BC:

Координаты точек B и C: B(1; 2) и C(5; -1)

Длина BC = √((5 - 1)² + (-1 - 2)²) = √((4)² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

3. Длина стороны CD:

Координаты точек C и D: C(5; -1) и D(1; -4)

Длина CD = √((1 - 5)² + (-4 - (-1))²) = √((-4)² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

4. Длина стороны DA:

Координаты точек D и A: D(1; -4) и A(-3; -1)

Длина DA = √((-3 - 1)² + (-1 - (-4))²) = √((-4)² + (3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

Теперь мы имеем следующие длины сторон:

• AB = 5
• BC = 5
• CD = 5
• DA = 5

Все стороны четырехугольника ABCD равны (AB = BC = CD = DA = 5). Это означает, что четырехугольник ABCD является ромбом, так как он удовлетворяет определению ромба, в котором все стороны равны.