Для решения задачи начнем с того, что у нас есть окружность с радиусом 3 см и центр O. Точка A находится на расстоянии 5 см от центра O. Из точки A проведены две касательные AB и AC к окружности.

Сначала вспомним, что длина касательной, проведенной из внешней точки к окружности, можно найти с помощью теоремы о касательной и радиусе. Эта теорема гласит, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. В нашем случае это означает, что треугольники OAB и OAC являются прямоугольными.

Теперь обозначим:

• OA = 5 см (расстояние от точки A до центра окружности),
• OB = OC = 3 см (радиус окружности),
• AB = AC = x (длина касательных).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольниках OAB и OAC:

1. В треугольнике OAB: OA² = OB² + AB².
2. Подставим известные значения: 5² = 3² + x².
3. 25 = 9 + x².
4. Теперь решим уравнение: x² = 25 - 9 = 16.
5. Следовательно, x = √16 = 4 см.

Теперь мы знаем, что длина каждой касательной AB и AC равна 4 см. Чтобы найти длину отрезка BC, мы воспользуемся тем, что отрезок BC является основанием равнобедренного треугольника ABC, где AB = AC.

Так как AB и AC равны, то отрезок BC можно найти следующим образом:

1. BC = AC - AB = 4 см - 4 см = 0 см.

Однако, это не совсем корректно, так как мы должны рассмотреть длину отрезка BC как расстояние между точками B и C, которое можно найти по формуле:

1. BC = 2 * AB = 2 * 4 см = 8 см.

Но это не соответствует нашим вариантам ответов. Давайте пересчитаем. Мы можем использовать формулу для длины отрезка между двумя касательными:

1. BC = √(OA² - OB²) = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4 см.

Таким образом, длина отрезка BC равна 4 см. Однако это также не соответствует предложенным вариантам. Возможно, есть ошибка в интерпретации условий задачи или в расчетах.

Правильный ответ: длина отрезка BC равна 4 см, что не соответствует предложенным вариантам. Пожалуйста, проверьте условия задачи еще раз.