Из внешней точки Р проведена касательная к окружности, длина которой PA равна 6. Каков радиус окружности, если кратчайшее расстояние от точки P до окружности составляет 2?

Геометрия 8 класс Касательные к окружности касательная к окружности длина касательной радиус окружности расстояние до окружности геометрия 8 класс задача по геометрии

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства касательной к окружности и расстояние от внешней точки до окружности.

Давайте обозначим:

• O - центр окружности;
• r - радиус окружности;
• D - точка касания, где касательная PA касается окружности;
• PD - кратчайшее расстояние от точки P до окружности, которое равно 2.

Из условия задачи нам известно, что длина касательной PA равна 6. Мы знаем, что в треугольнике OPA, где OA - радиус окружности, PA - касательная, и OP - расстояние от точки P до центра окружности, выполняется теорема о касательной:

PA² = OP² - OA²

Теперь, для того чтобы найти радиус окружности, нам нужно знать длину OP. Мы можем выразить OP через радиус и расстояние PD:

Так как PD - это кратчайшее расстояние от точки P до окружности, оно равно OP - r. Таким образом, можно записать:

OP = r + PD

Подставим известное значение PD:

OP = r + 2

Теперь подставим это значение в формулу для касательной:

PA² = OP² - OA²

Подставим известные значения:

6² = (r + 2)² - r²

Теперь решим это уравнение:

36 = (r + 2)(r + 2) - r²

Раскроем скобки:

36 = r² + 4r + 4 - r²

Сократим r²:

36 = 4r + 4

Теперь вычтем 4 из обеих сторон:

32 = 4r

И разделим на 4:

r = 8

Таким образом, радиус окружности равен 8.

Ответ: радиус окружности равен 8.

Давайте разберемся с этой задачей! У нас есть внешняя точка P и касательная PA к окружности. Длина этой касательной равна 6, а кратчайшее расстояние от точки P до окружности составляет 2. Нам нужно найти радиус окружности!

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему о касательной и радиусе окружности:

• Длина касательной PA равна 6.
• Кратчайшее расстояние от точки P до окружности равно 2.

Теперь давайте обозначим радиус окружности как R. Мы знаем, что расстояние от точки P до центра окружности O можно выразить как:

• PO = R + 2 (поскольку от P до окружности 2, а от окружности до центра R).

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику OAP:

• PA² + OA² = OP²
• 6² + R² = (R + 2)²

Решим это уравнение:

• 36 + R² = R² + 4R + 4
• 36 = 4R + 4
• 36 - 4 = 4R
• 32 = 4R
• R = 8

Таким образом, радиус окружности равен 8!

Ура! Мы справились с задачей! Надеюсь, тебе было интересно решать её вместе со мной!