К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Какой радиус окружности, если длина касательной AB составляет 12, а длина секущей AO равна 15?

Геометрия 8 класс Касательные и секущие к окружности окружность радиус касательная секущая длина геометрия задача 8 класса центр окружности решение задач математические формулы Новый

Чтобы найти радиус окружности, давайте воспользуемся теоремой о касательной и секущей. Эта теорема гласит, что квадрат длины касательной, проведенной из точки к окружности, равен произведению длины секущей на длину отрезка, заключенного между точкой касания и точкой пересечения секущей с окружностью.

В нашем случае:

• Длина касательной AB = 12.
• Длина секущей AO = 15.

Обозначим радиус окружности как R. По теореме мы можем записать следующее уравнение:

AB² = AO * (AO - OB)

Где OB - это длина отрезка от точки O до точки B (точки касания). Мы знаем, что AO = 15 и AB = 12, поэтому подставим известные значения в уравнение:

12² = 15 * (15 - OB).

Теперь вычислим 12²:

• 12² = 144.

Теперь подставим это значение в уравнение:

144 = 15 * (15 - OB).

Теперь разделим обе стороны уравнения на 15:

144/15 = 15 - OB.

Вычислим 144/15:

144/15 = 9.6.

Теперь у нас есть:

9.6 = 15 - OB.

Переносим OB на другую сторону:

OB = 15 - 9.6.

Теперь вычислим OB:

OB = 5.4.

Теперь, чтобы найти радиус R, мы используем теорему Пифагора в треугольнике OAB, где OA - это секущая, AB - касательная, а OB - радиус:

R² + AB² = OA².

Подставим известные значения:

R² + 12² = 15².

Теперь вычислим 12² и 15²:

• 12² = 144.
• 15² = 225.

Теперь подставим эти значения в уравнение:

R² + 144 = 225.

Вычтем 144 из обеих сторон:

R² = 225 - 144.

Теперь вычислим правую часть:

R² = 81.

Теперь найдем радиус R, взяв квадратный корень из 81:

R = 9.

Ответ: Радиус окружности равен 9.