Как можно доказать, что параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником?

Геометрия 8 класс Свойства параллелограммов параллелограмм равные диагонали доказательство прямоугольник свойства параллелограмма геометрия 8 класс Новый

Чтобы доказать, что параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником, мы можем использовать несколько геометрических свойств параллелограммов и треугольников. Давайте рассмотрим шаги этого доказательства.

1. Определение параллелограмма: Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны. Обозначим наш параллелограмм как ABCD, где AB || CD и AD || BC.
2. Свойство диагоналей: В параллелограмме диагонали пересекаются и делят друг друга пополам. Обозначим точки пересечения диагоналей AC и BD как точку O. Таким образом, AO = OC и BO = OD.
3. Поскольку диагонали равны: Предположим, что диагонали AC и BD равны, т.е. AC = BD. Это значит, что AO + OC = BO + OD. Но так как AO = OC и BO = OD, мы можем записать:
   • AO = OC = x,
   • BO = OD = y.
   Тогда получаем: 2x = 2y, что означает, что x = y. Таким образом, AO = BO.
4. Равенство треугольников: Теперь рассмотрим треугольники AOB и COD. У нас есть:
   • AO = BO (из предыдущего шага),
   • CO = DO (так как O - середина диагоналей),
   • OB = OA (по свойству параллелограмма).
   Это означает, что треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними (по теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними).
5. Углы треугольников: Если треугольники AOB и COD равны, то углы AOB = угол COD. Но так как ABCD - параллелограмм, то угол AOB + угол COD = 180 градусов. Это означает, что каждый из этих углов равен 90 градусам, так как их сумма равна 180 градусам и они равны.
6. Заключение: Если оба угла AOB и COD равны 90 градусам, то все углы параллелограмма ABCD равны 90 градусам. Следовательно, ABCD является прямоугольником.

Таким образом, мы доказали, что параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.