Для доказательства того, что четырехугольник efkl является параллелограммом, мы воспользуемся свойствами параллелограммов и свойствами средних линий.

Шаг 1: Определение точек

• Пусть A, B, C и D - вершины параллелограмма ABCD.
• Точка E - середина стороны AB.
• Точка F - середина стороны BC.
• Точка K - середина стороны CD.
• Точка L - середина стороны DA.

Шаг 2: Использование свойств средних линий

Согласно свойствам средних линий в треугольниках, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен ей пополам.

Рассмотрим треугольник ABC:

• Отрезок EF соединяет середины сторон AB и BC.
• По определению, EF || AC и EF = 1/2 * AC.

Теперь рассмотрим треугольник CDA:

• Отрезок KL соединяет середины сторон CD и DA.
• По аналогии, KL || AC и KL = 1/2 * AC.

Шаг 3: Доказательство параллельности сторон

Мы уже установили, что:

• EF || AC
• KL || AC

Таким образом, отрезки EF и KL параллельны, так как они оба параллельны стороне AC.

Шаг 4: Доказательство равенства противоположных сторон

Теперь рассмотрим отрезки FL и EK:

• Точка F - середина стороны BC, а точка L - середина стороны DA.
• Отрезок FL соединяет середины сторон BC и DA.
• По свойству средних линий, FL || BD и FL = 1/2 * BD.

Аналогично, отрезок EK соединяет середины сторон AB и CD:

• EK || BD и EK = 1/2 * BD.

Шаг 5: Заключение

Мы установили, что:

• EF || KL
• FL || EK

Поскольку у нас есть две пары параллельных сторон, то четырехугольник efkl является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник efkl является параллелограммом.