Как можно найти длины оснований прямоугольной трапеции, если один из углов равен 120 градусам, длина большей боковой стороны составляет 20 см, а средняя линия равна 7 см?

Геометрия 8 класс Прямоугольные трапеции длина оснований трапеции прямоугольная трапеция угол 120 градусов боковая сторона 20 см средняя линия 7 см Новый

Для решения задачи о нахождении длин оснований прямоугольной трапеции, когда известен угол, длина боковой стороны и средняя линия, мы можем воспользоваться свойствами трапеции и некоторыми геометрическими соотношениями.

Давайте обозначим:

• A - одна из вершин прямоугольной трапеции;
• B - соседняя вершина, образующая угол 120 градусов с основанием;
• C - вершина, противоположная A;
• D - вершина, противоположная B;
• AB - большая боковая сторона, равная 20 см;
• CD - средняя линия, равная 7 см;
• a - длина меньшего основания (BC);
• b - длина большего основания (AD).

Известно, что средняя линия трапеции равна половине суммы оснований:

Формула средней линии:

CD = (a + b) / 2

Подставим известное значение средней линии:

7 = (a + b) / 2

Умножим обе стороны на 2:

a + b = 14

Теперь рассмотрим угол 120 градусов. В прямоугольной трапеции угол 120 градусов будет находиться между боковой стороной и одним из оснований. Мы можем провести перпендикуляр из точки B на основание AD. Обозначим точку пересечения как E.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABE, где:

• AB = 20 см (боковая сторона);
• угол ABE = 120 градусов;
• угол AEB = 30 градусов (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам).

В этом треугольнике мы можем использовать соотношение между сторонами:

Синус и косинус угла:

• BE = AB * sin(30) = 20 * 0.5 = 10 см;
• AE = AB * cos(30) = 20 * (sqrt(3)/2) = 10 * sqrt(3) см.

Теперь, чтобы найти основание AD, мы можем выразить длину большего основания через AE и длину меньшего основания:

Длина большего основания (b) равна длине AE плюс длина меньшего основания (a):

Формула для большего основания:

b = AE + a

Подставим AE:

b = 10 * sqrt(3) + a

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a + b = 14 (уравнение 1);
2. b = 10 * sqrt(3) + a (уравнение 2).

Подставим уравнение 2 в уравнение 1:

a + (10 * sqrt(3) + a) = 14

2a + 10 * sqrt(3) = 14

2a = 14 - 10 * sqrt(3)

a = (14 - 10 * sqrt(3)) / 2

Теперь, зная значение a, можем найти b, подставив его в уравнение 1:

b = 14 - a

Таким образом, мы нашли длины оснований прямоугольной трапеции:

• Меньшее основание (a) = (14 - 10 * sqrt(3)) / 2;
• Большое основание (b) = 14 - a.

Теперь вы можете подставить значение sqrt(3) (примерно 1.732) и вычислить точные длины оснований.