Как можно найти площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 2 корня из 13 см, а длина медианы к меньшему острому углу составляет 5 см?

Геометрия 8 класс Площадь треугольника площадь прямоугольного треугольника гипотенуза медиана меньший острый угол формула площади геометрия 8 класс Новый

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, зная длину гипотенузы и медианы к меньшему острому углу, можно воспользоваться некоторыми свойствами треугольников и формулами.

Давайте рассмотрим шаги, которые нам нужно выполнить:

1. Обозначим элементы треугольника: Пусть треугольник ABC, где угол C - прямой, AB - гипотенуза, AC и BC - катеты. Гипотенуза AB равна 2 корня из 13 см.
2. Найдем длину медианы: Медиана к меньшему острому углу (углу A или углу B) делит гипотенузу на две равные части. Обозначим длины катетов как a и b, где a - это катет, противолежащий углу A, а b - противолежащий углу B. Медиана к углу A (MA) равна 5 см.
3. Используем формулу для медианы: Длина медианы MA в прямоугольном треугольнике может быть найдена по формуле:

   MA = 1/2 * sqrt(2b^2 + 2c^2 - a^2)

   где b и c - это катеты, а a - гипотенуза. В нашем случае, мы знаем, что a = 2√13.
4. Подставим известные значения:

   MA = 5 = 1/2 * sqrt(2b^2 + 2c^2 - (2√13)^2)

   Упрощаем: (2√13)^2 = 4 * 13 = 52, так что у нас получается:

   10 = sqrt(2b^2 + 2c^2 - 52)

   100 = 2b^2 + 2c^2 - 52

   2b^2 + 2c^2 = 152

   b^2 + c^2 = 76

   Поскольку в прямоугольном треугольнике b^2 + c^2 = a^2, то a^2 = 52.

5. Находим площадь: Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

   Площадь = (1/2) * a * b

   Мы знаем, что a^2 + b^2 = 76 и a^2 = 52, поэтому b^2 = 76 - 52 = 24. Таким образом, b = sqrt(24) = 2√6.

   Теперь можем найти площадь:

   Площадь = (1/2) * (2√13) * (2√6) = (1/2) * 4√78 = 2√78.

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника составляет 2√78 см².