Чтобы определить длину гипотенузы прямоугольного треугольника, зная его площадь и тангенс одного из острых углов, мы можем следовать следующим шагам:

1. Определим стороны треугольника. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенуза обозначим как c. Площадь треугольника определяется по формуле:
• Площадь = (a * b) / 2.
2. Подставим известное значение площади. У нас площадь равна 54 см², значит:
• (a * b) / 2 = 54.
• Тогда a * b = 108.
3. Используем тангенс угла. Тангенс одного из острых углов (пусть это будет угол A) равен 3/4. Это означает, что:
• tan(A) = a / b = 3 / 4.
• Таким образом, можно выразить a через b: a = (3/4) * b.
4. Подставим выражение для a в уравнение для площади. Мы знаем, что a * b = 108:
• ((3/4) * b) * b = 108.
• (3/4) * b² = 108.
• b² = 108 * (4/3) = 144.
• Следовательно, b = √144 = 12 см.
5. Теперь найдем a. Подставим значение b в выражение для a:
• a = (3/4) * 12 = 9 см.
6. Теперь можем найти гипотенузу c. Используем теорему Пифагора:
• c² = a² + b².
• c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
• c = √225 = 15 см.

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника составляет 15 см.