Какова длина катета, который находится напротив острого угла в 60°, если площадь прямоугольного треугольника равна 512√3/3?

Геометрия 8 класс Площадь и свойства прямоугольного треугольника Новый

Для нахождения длины катета, который находится напротив острого угла в 60°, необходимо использовать известные свойства прямоугольного треугольника и формулу для вычисления площади.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота

В нашем случае основание и высота будут представлять собой катеты треугольника. Обозначим катет, находящийся напротив угла в 60°, как 'a', а другой катет (прилежащий к углу в 60°) как 'b'. Поскольку угол в 60° является острым, мы можем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике.

Согласно свойствам треугольника с углом 60°, можно сказать, что:

• Синус 60° = корень из 3 / 2
• Косинус 60° = 1/2

Теперь, зная площадь треугольника, равную 512√3/3, подставим её в формулу:

512√3/3 = (1/2) * a * b

Умножим обе стороны уравнения на 2:

1024√3/3 = a * b

Теперь, используя соотношения между сторонами треугольника, можно выразить 'b' через 'a'. С учетом угла в 60°:

b = a * (1/√3)

Теперь подставим это значение в уравнение для площади:

1024√3/3 = a * (a * (1/√3))

Упростим уравнение:

1024√3/3 = a²/√3

Умножим обе стороны на √3:

(1024 * 3)/3 = a²

Это упростится до:

1024 = a²

Теперь найдём 'a', извлекая квадратный корень:

a = √1024

a = 32

Таким образом, длина катета, который находится напротив острого угла в 60°, равна 32.