Чтобы найти длину катета, который находится напротив угла 60° в прямоугольном треугольнике, мы можем воспользоваться свойствами треугольников и формулой для площади треугольника.

Давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом:

1. Понимание структуры треугольника: В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, а у нас дан угол 60°. Таким образом, третий угол будет равен 30° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
2. Отношения сторон в треугольнике 30°-60°-90°: В таком треугольнике стороны имеют определенные соотношения:
   • Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
   • Катет, противолежащий углу 60°, равен гипотенузе, умноженной на √3/2.
3. Формула площади треугольника: Площадь треугольника можно найти по формуле:
   P = (1/2) * основание * высота.
   В нашем случае катеты являются основанием и высотой, так как треугольник прямоугольный.
4. Обозначение катетов: Пусть катет, противолежащий углу 60°, равен a, а катет, противолежащий углу 30°, равен a/√3.
5. Запись уравнения для площади: Подставим значения катетов в формулу площади:
   (1/2) * a * (a/√3) = (338√3)/3.
6. Решение уравнения: Упростим уравнение:
   • (1/2) * a * (a/√3) = (338√3)/3
   • a²/(2√3) = (338√3)/3
   • a² = (338√3) * (2√3)/3
   • a² = 338 * 2
   • a² = 676
   • a = √676
   • a = 26
7. Ответ: Длина катета, который находится напротив угла 60°, равна 26 единицам.

Таким образом, мы нашли длину катета, используя свойства треугольника 30°-60°-90° и формулу площади треугольника.