Чтобы решить неравенство 1 + 2/x ≥ x, давайте следовать пошаговому процессу.

Сначала мы можем привести все члены неравенства к одной стороне, чтобы получить его в виде:

1 + 2/x - x ≥ 0

Чтобы упростить неравенство, приведем все члены к общему знаменателю. Общим знаменателем будет x:

1. 1 можно записать как x/x.
2. Тогда неравенство примет вид: (x + 2 - x^2)/x ≥ 0.

Теперь упростим числитель:

(2 - x^2)/x ≥ 0.

Теперь нам нужно определить, при каких значениях x выражение (2 - x^2)/x будет больше или равно нулю. Для этого рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.

• Числитель: 2 - x^2 = 0, что дает x^2 = 2, следовательно, x = ±√2.
• Знаменатель: x = 0.

Теперь у нас есть критические точки: -√2, 0 и √2. Построим интервалы:

• (-∞, -√2)
• (-√2, 0)
• (0, √2)
• (√2, +∞)

Теперь проверим знак выражения на каждом интервале:

• Для x < -√2 (например, x = -3): (2 - 9)/(-3) = -7/(-3) > 0.
• Для -√2 < x < 0 (например, x = -1): (2 - 1)/(-1) = 1/(-1) < 0.
• Для 0 < x < √2 (например, x = 1): (2 - 1)/1 = 1 > 0.
• Для x > √2 (например, x = 3): (2 - 9)/3 = -7/3 < 0.

Теперь мы можем записать ответ, учитывая, что мы ищем, где выражение больше или равно нулю:

Ответ: x ∈ (-∞, -√2] ∪ (0, √2].

Не забудьте, что x не может быть равен 0, так как это делает знаменатель равным нулю.