Какое количество сторон имеет правильный многоугольник, если радиус вписанной в него окружности равен 5 см, а длина его стороны составляет 10 см? Кроме того, каким образом можно вычислить длину описанной окружности этого многоугольника?

Геометрия 8 класс Правильные многоугольники правильный многоугольник количество сторон радиус вписанной окружности длина стороны длина описанной окружности геометрия 8 класс Новый

Чтобы определить количество сторон правильного многоугольника, когда известны радиус вписанной окружности (r) и длина стороны (a), мы можем воспользоваться следующими формулами:

• Формула для радиуса вписанной окружности правильного многоугольника:
r = (a / (2 * tan(π / n)))
• где n - количество сторон многоугольника, a - длина стороны.

Также, для нахождения длины описанной окружности (R) правильного многоугольника, можно использовать формулу:

R = (a / (2 * sin(π / n)))

Теперь давайте решим задачу шаг за шагом:

1. Подставляем известные значения в формулу радиуса вписанной окружности:
5 = (10 / (2 * tan(π / n)))
2. Упростим уравнение:
5 = (10 / (2 * tan(π / n)))
5 * 2 * tan(π / n) = 10
10 * tan(π / n) = 10
tan(π / n) = 1
3. Теперь найдем n. Угол, при котором тангенс равен 1, равен 45 градусов, т.е. π/4 радиан. Следовательно:
π / n = π / 4
4. Отсюда:
n = 4
5. Таким образом, правильный многоугольник имеет 4 стороны, то есть это квадрат.

Теперь, чтобы найти длину описанной окружности, подставим значение n в формулу:

• Используем формулу:
R = (a / (2 * sin(π / n)))
• Подставляем a = 10 и n = 4:
R = (10 / (2 * sin(π / 4)))
• Зная, что sin(π / 4) = √2 / 2, получаем:
R = (10 / (2 * (√2 / 2))) = (10 / √2) = 5√2
• Таким образом, длина описанной окружности равна 5√2 см.

В итоге, правильный многоугольник имеет 4 стороны (это квадрат), а длина описанной окружности составляет 5√2 см.