В окружности, которая описана вокруг правильного многоугольника, радиус равен 2√3 см, а радиус вписанной окружности составляет 3 см. Каковы: 1) длина стороны многоугольника, 2) количество сторон многоугольника?

Геометрия 8 класс Правильные многоугольники радиус окружности правильный многоугольник длина стороны количество сторон геометрия 8 класс Новый

Для решения данной задачи нам нужно использовать формулы, связывающие радиусы описанной и вписанной окружностей многоугольника с его стороной и количеством сторон.

Обозначим:

• R - радиус описанной окружности (в нашем случае R = 2√3 см),
• r - радиус вписанной окружности (в нашем случае r = 3 см),
• n - количество сторон многоугольника,
• a - длина стороны многоугольника.

Существует формула, которая связывает радиусы окружностей и количество сторон многоугольника:

R = (a / 2) / sin(π / n)

и

r = (a / 2) * tan(π / n)

Из этих двух формул мы можем выразить сторону a через R и r:

1. Из первой формулы выразим a:

a = 2R * sin(π / n)

2. Из второй формулы также выразим a:

a = 2r / tan(π / n)

Теперь приравняем обе формулы для a:

2R * sin(π / n) = 2r / tan(π / n)

Упростим это уравнение:

R * sin(π / n) = r / tan(π / n)

Используя соотношение tan(θ) = sin(θ) / cos(θ), мы можем переписать уравнение:

R * sin(π / n) * cos(π / n) = r * sin(π / n)

Теперь можем сократить sin(π / n) (при условии, что n > 2):

R * cos(π / n) = r

Подставим известные значения R и r:

2√3 * cos(π / n) = 3

Теперь решим это уравнение:

cos(π / n) = 3 / (2√3)

cos(π / n) = √3 / 2

Это значение соответствует углу π / 6, следовательно:

π / n = π / 6

Отсюда мы можем найти n:

n = 6

Теперь, зная количество сторон, подставим n обратно в формулу для длины стороны a:

a = 2R * sin(π / n) = 2 * 2√3 * sin(π / 6)

sin(π / 6) = 1/2

a = 2 * 2√3 * 1/2 = 2√3 см

Таким образом, мы нашли:

• Количество сторон многоугольника: 6
• Длина стороны многоугольника: 2√3 см