Какова максимальная площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 10?

Геометрия 8 класс Площадь прямоугольного треугольника максимальная площадь прямоугольный треугольник гипотенуза 10 геометрия 8 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти максимальную площадь прямоугольного треугольника с заданной гипотенузой, давайте вспомним, как вычисляется площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 1/2 * основание * высота

В нашем случае основание и высота — это катеты треугольника. Обозначим катеты как a и b. Также мы знаем, что для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора:

a² + b² = c²

где c — это гипотенуза. В нашем случае c = 10, поэтому:

a² + b² = 10²

a² + b² = 100

Теперь мы можем выразить площадь через катеты:

Площадь = 1/2 * a * b

Чтобы максимизировать площадь, мы можем использовать метод подстановки. Из уравнения Pифагора выразим один катет через другой. Например, выразим b:

b = √(100 - a²)

Теперь подставим b в формулу для площади:

Площадь = 1/2 * a * √(100 - a²)

Теперь нам нужно найти значение a, при котором площадь максимальна. Чтобы сделать это, мы можем использовать производную:

1. Найдите производную площади по a.
2. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение для a.

Однако, чтобы упростить задачу, мы можем воспользоваться тем, что максимальная площадь прямоугольного треугольника достигается, когда катеты равны. В этом случае:

a = b

Подставим это в уравнение Пифагора:

2a² = 100

a² = 50

a = √50 = 5√2

Теперь найдем площадь:

Площадь = 1/2 * a * b = 1/2 * (5√2) * (5√2) = 1/2 * 50 = 25

Таким образом, максимальная площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 равна 25 квадратных единиц.