Какой радиус окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник, если длина гипотенузы равна 10 см, а высота, опущенная на гипотенузу, составляет 3 см?

Геометрия 8 класс Вписанная окружность в треугольник радиус окружности вписанная окружность прямоугольный треугольник длина гипотенузы высота на гипотенузу задачи по геометрии Новый

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, мы можем воспользоваться формулой:

r = S / p

где:

• r - радиус вписанной окружности;
• S - площадь треугольника;
• p - полупериметр треугольника.

Сначала нам нужно найти площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

S = (a * b) / 2

где a и b - катеты треугольника. Однако, у нас есть высота, опущенная на гипотенузу, и длина гипотенузы. Мы можем использовать другую формулу для площади:

S = (h * c) / 2

где:

• h - высота (3 см);
• c - длина гипотенузы (10 см).

Теперь подставим известные значения в формулу для площади:

S = (3 * 10) / 2 = 30 / 2 = 15 см²

Теперь нам нужно найти полупериметр треугольника. Полупериметр можно вычислить по формуле:

p = (a + b + c) / 2

Но нам нужно знать длины катетов a и b. Известно, что высота на гипотенузу делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника. Мы можем использовать теорему о высоте в прямоугольном треугольнике:

h² = a * b

Подставляя известные значения:

3² = a * b

9 = a * b

Также, используя теорему Пифагора:

a² + b² = c²

a² + b² = 10² = 100

Теперь у нас есть система уравнений:

• 1) a * b = 9
• 2) a² + b² = 100

Решив эту систему, мы можем найти значения a и b. Но для нахождения полупериметра можно использовать и другой подход. Зная, что c = 10 см, мы можем выразить p как:

p = (a + b + 10) / 2

Теперь мы можем использовать формулу для радиуса:

r = S / p

Подставим значения:

p = (a + b + 10) / 2

Так как a + b = √(a² + b² + 2ab) = √(100 + 18) = √118, мы можем подставить в формулу:

p = (√118 + 10) / 2

Теперь подставим все значения в формулу для радиуса:

r = 15 / ((√118 + 10) / 2)

Решив это уравнение, мы найдем радиус окружности, вписанной в треугольник.

В конечном итоге, радиус окружности будет равен:

r ≈ 3.75 см