Периметр прямоугольника составляет 62, а длина диагонали равна 25. Какова площадь этого прямоугольника?

Геометрия 8 класс Периметр и площадь прямоугольника периметр прямоугольника длина диагонали площадь прямоугольника геометрия 8 класс задачи по геометрии прямоугольник формулы для прямоугольника решение задач площадь фигуры свойства прямоугольника Новый

Для начала, давайте проанализируем данную задачу. Нам известно, что периметр прямоугольника составляет 62, а длина диагонали равна 25. Чтобы найти площадь этого прямоугольника, нам нужно определить его стороны.

Периметр прямоугольника можно выразить через его стороны. Обозначим длину одной стороны как x, а другой стороны как y. Тогда периметр P можно записать следующим образом:

P = 2x + 2y

Поскольку периметр равен 62, мы можем записать уравнение:

2x + 2y = 62

Теперь разделим обе стороны на 2, чтобы упростить уравнение:

x + y = 31

Теперь у нас есть выражение, связывающее стороны прямоугольника. Но нам также нужно учитывать длину диагонали. Для этого мы воспользуемся теоремой Пифагора. Согласно этой теореме, для прямоугольника с катетами x и y и гипотенузой (диагональю) d выполняется следующее равенство:

x² + y² = d²

В нашем случае d = 25, поэтому:

x² + y² = 25²

x² + y² = 625

Теперь у нас есть две системы уравнений:

• 1. x + y = 31
• 2. x² + y² = 625

Теперь мы можем выразить y через x из первого уравнения:

y = 31 - x

Подставим это значение y во второе уравнение:

x² + (31 - x)² = 625

Теперь раскроем скобки:

x² + (31² - 62x + x²) = 625

2x² - 62x + 961 = 625

Теперь упростим это уравнение:

2x² - 62x + 336 = 0

Разделим все коэффициенты на 2 для удобства:

x² - 31x + 168 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта D:

D = b² - 4ac = (-31)² - 4*1*168 = 961 - 672 = 289

Так как D положителен, у нас есть два различных корня:

x1 = (31 - √289)/2 = (31 - 17)/2 = 7

x2 = (31 + √289)/2 = (31 + 17)/2 = 24

Таким образом, стороны прямоугольника равны 7 и 24 (или 24 и 7, что неважно). Теперь мы можем найти площадь прямоугольника, которая равна произведению его сторон:

Площадь = x * y = 7 * 24 = 168

Итак, площадь данного прямоугольника составляет 168 квадратных единиц.