В прямоугольнике АBCD проведены диагонали, которые пересекаются в точке O. Известно, что периметр треугольника AOD на 1 см больше периметра треугольника AOB. Периметр прямоугольника ABCD равен 38 см. Какова площадь прямоугольника ABCD?

Геометрия 8 класс Периметр и площадь прямоугольника периметр прямоугольника площадь прямоугольника треугольники AOD AOB диагонали прямоугольника задача по геометрии 8 класс Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Начнем с того, что периметр прямоугольника ABCD равен 38 см. Периметр прямоугольника рассчитывается по формуле:

• Периметр = 2 * (длина + ширина)

Обозначим длину прямоугольника как a, а ширину как b. Тогда:

• 2 * (a + b) = 38
• a + b = 19

2. Теперь перейдем к треугольникам AOB и AOD. Мы знаем, что:

• Периметр треугольника AOD на 1 см больше, чем периметр треугольника AOB.

Периметры этих треугольников можно выразить следующим образом:

• Периметр AOB = AO + OB + AB
• Периметр AOD = AO + OD + AD

3. Поскольку ABCD - прямоугольник, то AO = OC и OB = OD. Таким образом, мы можем записать:

• Периметр AOB = AO + OB + AB = AO + OD + AB
• Периметр AOD = AO + OD + AD = AO + AO + AD = 2AO + AD

4. Теперь подставим эти выражения в условие задачи:

• 2AO + AD = AO + OD + AB + 1

Так как OD = OB, то:

• 2AO + AD = AO + OB + AB + 1

5. Упростим это уравнение:

• AO + AD = OB + AB + 1

6. Теперь мы можем выразить AD через AB:

• AD = AB + 1 - AO

7. Поскольку ABCD - прямоугольник, то AD = b и AB = a. Подставим это в уравнение:

• b = a + 1 - AO

8. Теперь у нас есть два уравнения:

• a + b = 19
• b = a + 1 - AO

9. Подставим b из второго уравнения в первое:

• a + (a + 1 - AO) = 19
• 2a + 1 - AO = 19
• 2a - AO = 18
• AO = 2a - 18

10. Теперь вернемся к периметру прямоугольника. Мы знаем, что:

• Площадь = a * b

11. Подставим b из уравнения b = 19 - a:

• Площадь = a * (19 - a)

12. Теперь мы можем найти площадь, подставив a в выражение:

• Площадь = a * (19 - a) = 19a - a²

13. Чтобы найти максимальную площадь, можно использовать производную или подставить значения a от 0 до 19:

• При a = 9,5, площадь = 9,5 * (19 - 9,5) = 9,5 * 9,5 = 90,25 см².

14. Однако, поскольку a и b должны быть целыми числами, мы можем проверить целые числа, чтобы найти наибольшую целую площадь:

• При a = 9, b = 10, площадь = 90 см².
• При a = 10, b = 9, площадь = 90 см².

Таким образом, максимальная площадь прямоугольника ABCD равна:

90 см²