Прямые AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C. Как можно определить длину отрезка BC, если угол OAB равен 30 градусам, а длина отрезка AB составляет 5 см?

Геометрия 8 класс Касательные к окружности длина отрезка BC угол OAB окружность с центром O прямые AB и AC геометрия 8 класс касательные к окружности свойства треугольников Новый

Для решения задачи мы будем использовать свойства касательных и треугольников. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам найти длину отрезка BC.

1. Понимание касательных: Прямые AB и AC являются касательными к окружности, что означает, что они перпендикулярны радиусам, проведённым в точки касания. То есть, угол OAB равен 90 градусам.
2. Определение угла OAC: У нас есть угол OAB, который равен 30 градусам. Поскольку угол OAB и угол OAC являются прилежащими углами, мы можем найти угол OAC. Угол OAC будет равен 90 градусов минус угол OAB. Таким образом, угол OAC равен 90 - 30 = 60 градусов.
3. Использование тригонометрии: В треугольнике OAB мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины отрезка OB (радиуса окружности). Так как угол OAB равен 30 градусам, мы можем использовать синус для нахождения OB:
   • Синус угла OAB: sin(30) = противолежащий катет (OB) / гипотенуза (AB).
   • Зная, что AB = 5 см, мы можем записать: sin(30) = OB / 5.
   • Так как sin(30) = 0.5, получаем: 0.5 = OB / 5.
   • Отсюда OB = 5 * 0.5 = 2.5 см.
4. Находим длину отрезка BC: Теперь мы знаем, что OB = OC = 2.5 см (так как радиусы окружности равны). В треугольнике OBC мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины отрезка BC. Угол BOC равен 180 - (угол OAB + угол OAC) = 180 - (30 + 60) = 90 градусов. Таким образом, треугольник OBC является прямоугольным.
5. Применение теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике OBC мы можем использовать теорему Пифагора:
   • BC² = OB² + OC².
   • Подставляем значения: BC² = (2.5)² + (2.5)² = 6.25 + 6.25 = 12.5.
   • Таким образом, BC = √12.5 ≈ 3.54 см.

Итак, длина отрезка BC составляет приблизительно 3.54 см.