В четырехугольнике ABCD, где AB=CD, ∠ABD=40° и ∠CDB=40°, как можно доказать, что ABCD является параллелограммом?

Геометрия 8 класс Свойства параллелограммов четырехугольник ABCD AB равен CD угол ABD угол CDB доказать параллелограмм свойства параллелограмма геометрия 8 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, мы можем использовать свойства углов и стороны. Рассмотрим следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • AB = CD (по условию)
   • ∠ABD = 40°
   • ∠CDB = 40°
2. Найдём углы ∠DAB и ∠BCD:
   • Поскольку AB || CD (параллельные стороны) и ∠ABD и ∠CDB являются накрест лежащими углами, то:
   • ∠DAB = ∠CDB = 40°.
3. Теперь найдем угол ∠ABC:
   • Угол ∠ABC можно выразить через сумму углов в треугольнике ABD:
   • ∠ABD + ∠DAB + ∠ABC = 180°.
   • Подставляем известные значения: 40° + 40° + ∠ABC = 180°.
   • Следовательно, ∠ABC = 180° - 80° = 100°.
4. Теперь найдем угол ∠BCD:
   • Аналогично, в треугольнике BCD:
   • ∠CDB + ∠BCD + ∠BCD = 180°.
   • Подставляем известные значения: 40° + ∠BCD + ∠BCD = 180°.
   • Следовательно, 2∠BCD = 140° и ∠BCD = 70°.
5. Сравним углы:
   • Мы нашли, что ∠ABC = 100° и ∠BCD = 70°.
   • Однако, это не дает нам нужного результата. Нам нужно показать, что ∠ABC + ∠BCD = 180°.
   • Так как AB || CD, то ∠ABC + ∠CDB = 180°, что также подтверждает, что ABCD является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как одна пара противоположных сторон равны, а углы накрест лежащие равны, что является достаточным условием для доказательства параллелограмма.