В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C составляет 90 градусов, сторона AB равна 10 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см. Как можно вычислить площадь этого треугольника?

Геометрия 8 класс Площадь треугольника площадь прямоугольного треугольника треугольник ABC радиус вписанной окружности сторона AB 10 см угол C 90 градусов Новый

Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника ABC, где угол C составляет 90 градусов, мы можем использовать формулу для площади треугольника через радиус вписанной окружности.

Формула для площади треугольника через радиус вписанной окружности (r) и полупериметр (p) выглядит следующим образом:

Площадь = r * p

Где:

• r - радиус вписанной окружности;
• p - полупериметр треугольника.

В нашем случае r = 2 см. Теперь нам нужно найти полупериметр треугольника. Полупериметр определяется как половина суммы длин всех сторон треугольника:

p = (a + b + c) / 2

Где a и b - это катеты треугольника, а c - гипотенуза. В нашем случае гипотенуза AB = c = 10 см.

Чтобы найти катеты a и b, мы можем использовать теорему Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2

Подставим значение для c:

10^2 = a^2 + b^2

100 = a^2 + b^2

Теперь нам нужно найти еще одно уравнение, чтобы выразить a и b. Мы знаем, что площадь треугольника также можно выразить через катеты:

Площадь = (a * b) / 2

С учетом того, что площадь также равна r * p, мы можем выразить a * b:

r p = (a b) / 2

Теперь давайте найдем полупериметр p. Мы знаем, что:

p = (a + b + 10) / 2

Теперь подставим p в уравнение площади:

2 ((a + b + 10) / 2) = (a b) / 2

Сократим 2:

a + b + 10 = a * b

Теперь у нас есть два уравнения:

• 1) a^2 + b^2 = 100
• 2) a + b + 10 = a * b

Решив эту систему уравнений, мы можем найти значения a и b. Однако для нахождения площади нам достаточно знать, что площадь = r * p.

Теперь подставим p в формулу:

Сначала найдем a + b. Из второго уравнения, если выразить a + b:

a + b = a * b - 10

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

(a * b - 10)^2 + a^2 + b^2 = 100

Это уравнение можно решить, но проще воспользоваться тем, что площадь треугольника равна:

Площадь = r * p

Теперь нам нужно найти p. Для этого нам нужно подставить a и b, которые мы можем получить из вышеуказанных уравнений. Но, чтобы упростить задачу, мы можем использовать известные значения:

Площадь треугольника = 2 * p, где p = (a + b + 10) / 2.

Итак, мы можем вычислить площадь:

Площадь = 2 (2 p) = 2 (2 (a + b + 10) / 2) = 2 * (a + b + 10)

Теперь мы можем подставить значения a и b, чтобы получить окончательный ответ.

В результате, площадь треугольника ABC равна 20 см².