В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СМ к гипотенузе АВ. Известно, что площадь треугольника АСМ составляет 6 см квадратных, а площадь треугольника ВСМ равна 54 см квадратных. Как можно определить длины сторон треугольника АВС?

Геометрия 8 класс Площадь треугольника прямоугольный треугольник высота к гипотенузе площадь треугольника длины сторон треугольника треугольник АВС геометрия 8 класс Новый

Для решения задачи начнем с того, что мы знаем площади треугольников АСМ и ВСМ, а также то, что они являются частью прямоугольного треугольника АВС, где высота CM проведена к гипотенузе AB.

Обозначим:

• Площадь треугольника АСМ = S1 = 6 см²
• Площадь треугольника ВСМ = S2 = 54 см²

Сначала найдем общую площадь треугольника АВС:

• Площадь треугольника АВС = S = S1 + S2 = 6 см² + 54 см² = 60 см²

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника через основание и высоту:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

В нашем случае основанием является гипотенуза AB, а высотой - CM. Мы можем записать:

S = (AB * CM) / 2

Мы уже знаем, что S = 60 см², поэтому:

60 = (AB * CM) / 2

Отсюда получаем:

AB * CM = 120

Теперь мы можем выразить CM через S1 и S2:

Для треугольника АСМ:

S1 = (AC * CM) / 2

6 = (AC * CM) / 2

Отсюда:

AC * CM = 12

Для треугольника ВСМ:

S2 = (BC * CM) / 2

54 = (BC * CM) / 2

Отсюда:

BC * CM = 108

Теперь у нас есть три уравнения:

• AB * CM = 120 (1)
• AC * CM = 12 (2)
• BC * CM = 108 (3)

Теперь выразим длины сторон AC и BC через CM:

• AC = 12 / CM (из уравнения 2)
• BC = 108 / CM (из уравнения 3)

Теперь подставим значения AC и BC в уравнение (1):

AB * CM = 120

Где AB = AC + BC:

AB = (12 / CM) + (108 / CM) = (12 + 108) / CM = 120 / CM

Теперь подставим это значение в уравнение (1):

(120 / CM) * CM = 120

Это уравнение верно для любого значения CM, поэтому мы можем выбрать значение CM, чтобы найти длины сторон.

Например, если мы возьмем CM = 1 см:

• AC = 12 / 1 = 12 см
• BC = 108 / 1 = 108 см
• AB = 120 / 1 = 120 см

Таким образом, длины сторон треугольника АВС равны:

• AC = 12 см
• BC = 108 см
• AB = 120 см

Эти значения можно проверить, подставив их обратно в уравнения для площадей, и они будут удовлетворять условиям задачи.