В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13, а один катет больше другого на 7. Как можно найти площадь этого треугольника?

Геометрия 8 класс Площадь треугольника прямоугольный треугольник гипотенуза 13 катеты треугольника площадь треугольника задача по геометрии Новый

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам сначала нужно определить длины его катетов. Давайте обозначим один катет как x, а другой катет, который на 7 больше, как x + 7.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае это можно записать так:

• (катет 1)² + (катет 2)² = (гипотенуза)²
• x² + (x + 7)² = 13²

Теперь давайте разложим уравнение:

1. Сначала найдем квадрат гипотенузы: 13² = 169.
2. Теперь раскроем скобки: (x + 7)² = x² + 14x + 49.
3. Подставим это в уравнение: x² + (x² + 14x + 49) = 169.
4. Соберем все вместе: 2x² + 14x + 49 = 169.
5. Теперь перенесем 169 в левую часть: 2x² + 14x + 49 - 169 = 0.
6. Упростим: 2x² + 14x - 120 = 0.
7. Разделим все на 2 для упрощения: x² + 7x - 60 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 7, c = -60.

Подставим значения:

1. Сначала найдем дискриминант: D = 7² - 4 * 1 * (-60) = 49 + 240 = 289.
2. Теперь найдем корни: x = (-7 ± √289) / 2.
3. √289 = 17, значит, x = (-7 + 17) / 2 = 10 / 2 = 5 или x = (-7 - 17) / 2 = -24 / 2 = -12.

Поскольку длина катета не может быть отрицательной, мы принимаем только положительное значение: x = 5.

Теперь найдем второй катет:

• Второй катет: x + 7 = 5 + 7 = 12.

Теперь у нас есть оба катета: один катет равен 5, а другой - 12. Теперь можем найти площадь треугольника по формуле:

• Площадь = (1/2) * (катет 1) * (катет 2).

Подставим значения:

• Площадь = (1/2) * 5 * 12 = 30.

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника равна 30 квадратных единиц.