В прямоугольном треугольнике один из углов равен 45 градусам, а длина гипотенузы составляет 16. Как можно вычислить длину медианы, проведённой к гипотенузе?

Геометрия 8 класс Медиана в прямоугольном треугольнике прямоугольный треугольник угол 45 градусов длина гипотенузы вычисление медианы медиана к гипотенузе Новый

Чтобы найти длину медианы, проведённой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов и гипотенузой длиной 16, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами медиан и свойствами прямоугольного треугольника.

Шаг 1: Определение свойств треугольника

• В прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов оба катета равны между собой. Это значит, что если обозначить длину катетов как a, то мы имеем:
• По теореме Пифагора: a^2 + a^2 = 16^2.

Шаг 2: Вычисление длины катетов

• Сложим катеты: 2a^2 = 256.
• Разделим обе стороны на 2: a^2 = 128.
• Теперь найдем a: a = √128 = 8√2.

Шаг 3: Вычисление длины медианы

• Длина медианы, проведенной к гипотенузе, в прямоугольном треугольнике может быть найдена по формуле:
• m = (1/2) * √(2a^2 + 2b^2 - c^2), где m - длина медианы, a и b - длины катетов, c - длина гипотенузы.
• В нашем случае a = 8√2 и b = 8√2, c = 16.
• Подставим значения в формулу:
• m = (1/2) * √(2 * (8√2)^2 + 2 * (8√2)^2 - 16^2).
• Вычислим:
• 2 * (8√2)^2 = 2 * 128 = 256.
• 16^2 = 256.
• Теперь подставим в формулу: m = (1/2) * √(256 + 256 - 256) = (1/2) * √256 = (1/2) * 16 = 8.

Ответ: Длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна 8.