В прямоугольном треугольнике один катет короче другого на 14 см. Как можно определить длины катетов, если площадь треугольника составляет 120 см^2?

Геометрия 8 класс Площадь прямоугольного треугольника прямоугольный треугольник длины катетов площадь треугольника катеты решение задачи геометрия 8 класс математическая задача нахождение катетов свойства треугольников Новый

Для решения задачи начнем с обозначения длин катетов. Пусть один катет равен x см. Тогда другой катет, который на 14 см длиннее, можно обозначить как (x + 14) см.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота

В нашем случае основание и высота - это катеты треугольника, то есть:

Площадь = (1/2) * x * (x + 14)

По условию задачи площадь треугольника равна 120 см². Подставим это значение в формулу для площади:

(1/2) * x * (x + 14) = 120

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

x * (x + 14) = 240

Теперь раскроем скобки:

x^2 + 14x = 240

Переносим 240 в левую часть уравнения:

x^2 + 14x - 240 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Для его решения можно использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

В нашем уравнении a = 1, b = 14, c = -240. Подставим эти значения в формулу:

D = 14^2 - 4 * 1 * (-240)

D = 196 + 960

D = 1156

Теперь находим корни уравнения, используя формулу:

x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

x = (-14 ± √1156) / 2

√1156 = 34

Теперь подставляем это значение:

x = (-14 + 34) / 2 = 20 / 2 = 10

или

x = (-14 - 34) / 2 = -44 / 2 = -22

Поскольку длина не может быть отрицательной, мы принимаем только положительное значение:

x = 10 см

Теперь найдем длину второго катета:

Второй катет = x + 14 = 10 + 14 = 24 см

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника составляют:

• Первый катет: 10 см
• Второй катет: 24 см