В прямоугольном треугольнике один катет превышает другой на 2 см, а длина гипотенузы равна 10 см. Как можно вычислить площадь этого треугольника?

Геометрия 8 класс Площадь треугольника прямоугольный треугольник катеты гипотенуза площадь треугольника вычисление площади Новый

Для решения задачи начнем с обозначения катетов прямоугольного треугольника. Пусть один катет равен x см, тогда другой катет, который на 2 см больше, будет равен (x + 2) см. Теперь мы можем записать теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Запишем уравнение:

• x² + (x + 2)² = 10²

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

• x² + (x² + 4x + 4) = 100
• 2x² + 4x + 4 = 100

Теперь перенесем 100 на левую сторону уравнения:

• 2x² + 4x + 4 - 100 = 0
• 2x² + 4x - 96 = 0

Чтобы упростить уравнение, разделим все его коэффициенты на 2:

• x² + 2x - 48 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = 2, c = -48. Подставим значения:

• x = (-2 ± √(2² - 4 * 1 * (-48))) / (2 * 1)
• x = (-2 ± √(4 + 192)) / 2
• x = (-2 ± √196) / 2
• x = (-2 ± 14) / 2

Теперь найдем два возможных значения для x:

• x = (12) / 2 = 6
• x = (-16) / 2 (отрицательное значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Таким образом, один катет равен 6 см, а другой катет равен:

• x + 2 = 6 + 2 = 8 см.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, используем формулу:

• Площадь = (1/2) * основание * высота.

В нашем случае основание и высота - это катеты:

• Площадь = (1/2) * 6 * 8 = 24 см².

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника равна 24 см².