В прямоугольном треугольнике вписана окружность. Точка, в которой окружность касается гипотенузы, делит её в отношении 2:3. Каковы длины сторон этого треугольника, если расстояние от центра вписанной окружности до вершины прямого угла равно корень из 8? Укажите, пожалуйста, сумму длин сторон треугольника в ответе.

Геометрия 8 класс Вписанная и описанная окружности треугольника прямоугольный треугольник вписанная окружность длины сторон отношение отрезков сумма сторон центр окружности расстояние до вершины задача по геометрии корень из 8 геометрические свойства Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в точке A, пусть длины сторон AB = c, AC = b и гипотенуза BC = a. Мы знаем, что окружность вписана в треугольник и касается гипотенузы BC в точке D. По условию, точка D делит гипотенузу BC в отношении 2:3. Это означает, что:

• BD = 2k
• DC = 3k

Таким образом, длина гипотенузы a равна:

a = BD + DC = 2k + 3k = 5k.

Теперь, используя свойства вписанной окружности, можем выразить стороны b и c через k:

• c = DC = 3k
• b = BD = 2k

Теперь у нас есть:

• a = 5k
• b = 2k
• c = 3k

Следующим шагом будет использование теоремы Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

b² + c² = a².

Подставим наши выражения:

(2k)² + (3k)² = (5k)².

Это дает нам:

4k² + 9k² = 25k².

Сложим левые части:

13k² = 25k².

Теперь, согласно условию, расстояние от центра вписанной окружности до вершины A равно корень из 8. Это расстояние можно выразить через радиус вписанной окружности r и высоту h:

r = (a + b - c)/2.

Зная, что r = корень из 8, подставим наши выражения для a, b и c:

корень из 8 = (5k + 2k - 3k)/2 = (4k)/2 = 2k.

Теперь мы можем найти k:

2k = корень из 8, отсюда k = корень из 8 / 2 = корень из 2.

Теперь подставим k обратно в наши выражения для сторон:

• a = 5k = 5 * корень из 2 = 5корень из 2
• b = 2k = 2 * корень из 2 = 2корень из 2
• c = 3k = 3 * корень из 2 = 3корень из 2

Теперь найдем сумму длин сторон треугольника:

Сумма = a + b + c = 5корень из 2 + 2корень из 2 + 3корень из 2 = 10корень из 2.

Ответ: Сумма длин сторон треугольника равна 10корень из 2.