В треугольнике ABC, где AB = 8, вписана окружность. Касательная к окружности пересекает стороны BC и AC в точках M и K соответственно. Периметр треугольника MSK равен 12. Каков периметр треугольника ABC?

Геометрия 8 класс Вписанная и описанная окружности треугольника геометрия 8 класс треугольник ABC вписанная окружность периметр треугольника касательная к окружности Новый

Для решения данной задачи нам нужно использовать некоторые свойства вписанных окружностей и касательных к ним.

Сначала давайте вспомним, что если в треугольнике ABC вписана окружность, то длины отрезков, на которые касательная делит стороны, имеют определенные отношения. Обозначим:

• AM = s - a, где s - полупериметр треугольника ABC, a = BC;
• BM = s - b, где b = AC;
• CK = s - c, где c = AB = 8.

Так как касательная к окружности пересекает стороны BC и AC в точках M и K, то длины отрезков AK и MC также можно выразить через полупериметр:

• AK = s - b;
• MC = s - c.

Теперь, учитывая, что периметр треугольника MSK равен 12, мы можем записать:

Периметр треугольника MSK:

• MS + SK + KM = 12.

Так как M и K являются точками касания, мы можем выразить длины отрезков через полупериметр:

• MS = AM = s - a;
• SK = CK = s - c;
• KM = BM = s - b.

Подставляем выражения в формулу периметра:

• (s - a) + (s - b) + (s - c) = 12.

Теперь упростим уравнение:

• 3s - (a + b + c) = 12.

Поскольку a + b + c - это периметр треугольника ABC, обозначим его как P. Таким образом, мы можем записать:

• 3s - P = 12.

Также мы знаем, что полупериметр s равен P/2. Подставим это в уравнение:

• 3(P/2) - P = 12.

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

• 3P - 2P = 24.

Упрощаем:

• P = 24.

Таким образом, периметр треугольника ABC равен 24.

Ответ: Периметр треугольника ABC равен 24.