В прямоугольной трапеции АВСД, где АД параллельно ВС и АВ перпендикулярно АД, диагональ АС перпендикулярна боковой стороне СД, а угол Д составляет 30 градусов, как можно вычислить меньшее основание, если известно, что большее основание равно 24 см?

Геометрия 8 класс Прямоугольные трапеции прямоугольная трапеция основание трапеции угол 30 градусов диагональ АС вычисление основания геометрия 8 класс свойства трапеции задачи по геометрии параллельные стороны боковая сторона СД Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом, чтобы вычислить меньшее основание прямоугольной трапеции АВСД.

У нас есть следующие данные:

• Большое основание (ВС) равно 24 см.
• Угол Д равен 30 градусам.
• Диагональ АС перпендикулярна боковой стороне СД.

Сначала обозначим меньшее основание (АД) как x см. Теперь давайте рассмотрим треугольник АДЦ, который образуется с помощью диагонали АС и боковой стороны СД.

Поскольку угол Д равен 30 градусам, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения высоты трапеции (отрезка CD), который будет равен длине AD, умноженной на синус угла Д:

1. Находим высоту трапеции (h): h = AD * sin(30°).
2. Поскольку sin(30°) = 0.5, то h = x * 0.5 = 0.5x.

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник АСД. В этом треугольнике угол ACD равен 90 градусов, так как АС перпендикулярна СД. Мы можем использовать теорему Пифагора:

1. Сторона AC будет равна высоте h.
2. Сторона CD будет равна разности оснований: CD = 24 - x.
3. По теореме Пифагора: AC² + CD² = AD².

Подставим значения:

1. AC = h = 0.5x
2. CD = 24 - x
3. AD = x

Получаем уравнение:

(0.5x)² + (24 - x)² = x²

Теперь решим это уравнение:

1. 0.25x² + (576 - 48x + x²) = x²
2. 0.25x² + 576 - 48x + x² - x² = 0
3. 0.25x² - 48x + 576 = 0

Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

x² - 192x + 2304 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

1. D = b² - 4ac = (-192)² - 4 * 1 * 2304 = 36864 - 9216 = 27648.
2. Корни уравнения: x = (192 ± √27648) / 2.

Находим корень из дискриминанта:

√27648 ≈ 166.1

Теперь подставим значения для нахождения x:

1. x1 = (192 + 166.1) / 2 ≈ 179.05 (не подходит, так как больше 24 см).
2. x2 = (192 - 166.1) / 2 ≈ 12.95 см.

Таким образом, меньшее основание АД равно примерно 12.95 см.

Ответ: меньшее основание равно 12.95 см.