В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, а радиус вписанной окружности составляет 2. Какова площадь треугольника АВС, если сторона АВ имеет длину 12?

Геометрия 8 класс Площадь треугольника площадь треугольника треугольник ABC угол С 90 градусов радиус вписанной окружности сторона AB 12 задача по геометрии геометрия 8 класс Новый

Для решения задачи сначала вспомним, что в прямоугольном треугольнике площадь можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр.

Обозначим стороны треугольника следующим образом:

• Сторона AB = c = 12 (гипотенуза)
• Сторона AC = a
• Сторона BC = b

Поскольку угол C равен 90 градусов, то мы можем использовать формулу для площади треугольника:

Площадь = (a * b) / 2

Также известна формула для радиуса вписанной окружности (r) прямоугольного треугольника:

r = (a + b - c) / 2

В нашей задаче радиус вписанной окружности r равен 2. Подставим это значение в формулу:

2 = (a + b - 12) / 2

Умножим обе стороны на 2:

4 = a + b - 12

Теперь выразим a + b:

a + b = 16

Теперь мы имеем систему уравнений:

• 1) a + b = 16
• 2) Площадь = (a * b) / 2

Чтобы найти площадь, нам нужно выразить a и b. Мы можем выразить b через a из первого уравнения:

b = 16 - a

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

Площадь = (a * (16 - a)) / 2

Это выражение можно упростить:

Площадь = (16a - a^2) / 2

Теперь найдем максимум этой функции. Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю:

f(a) = (16a - a^2) / 2

Находим производную:

f'(a) = (16 - 2a) / 2 = 8 - a

Приравниваем к нулю:

8 - a = 0

a = 8

Теперь подставим значение a обратно, чтобы найти b:

b = 16 - 8 = 8

Теперь у нас есть обе стороны:

• a = 8
• b = 8

Теперь можем найти площадь:

Площадь = (8 * 8) / 2 = 64 / 2 = 32

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 32 квадратных единиц.