Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, нам нужно показать, что все его стороны равны. Для этого мы будем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):

Расстояние = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Теперь найдем длины всех сторон четырехугольника ABCD:

• Сторона AB:

Координаты точек A и B: A(-3; -1) и B(1; 2)

Расстояние AB = √((1 - (-3))² + (2 - (-1))²) = √((1 + 3)² + (2 + 1)²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

• Сторона BC:

Координаты точек B и C: B(1; 2) и C(5; -1)

Расстояние BC = √((5 - 1)² + (-1 - 2)²) = √((4)² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

• Сторона CD:

Координаты точек C и D: C(5; -1) и D(1; -4)

Расстояние CD = √((1 - 5)² + (-4 - (-1))²) = √((-4)² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

• Сторона DA:

Координаты точек D и A: D(1; -4) и A(-3; -1)

Расстояние DA = √((-3 - 1)² + (-1 - (-4))²) = √((-4)² + (3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

Теперь мы можем подвести итоги:

• Длина AB = 5
• Длина BC = 5
• Длина CD = 5
• Длина DA = 5

Так как все стороны четырехугольника ABCD равны (AB = BC = CD = DA = 5),мы можем заключить, что четырехугольник ABCD является ромбом.